Enigma no mundo dos quadrados

Descubra o mistério do revezamento.

No mundo dos quadrados há uma região em que o chão é muito frio. E por lá estavam dez deles, todos do mesmo tamanho. Para se aquecerem, esses quadrados ficam empilhados, um em cima do outro. Aqui estão algumas das maneiras como foram encontrados:

Como nenhum quadrado quer ficar em contato com o chão frio o tempo todo e como pilhas muito grandes não são muito agradáveis para os quadrados que ficam na parte de baixo, eles inventaram uma regra de revezamento. É assim: depois de uma hora, todos os quadrados que estavam no chão formam à esquerda uma nova pilha (ou coluna) de quadrados, e, dessa forma, eles, exceto um, não ficam mais no chão. Seguindo essa regra, o arranjo dos dez quadrados vai mudando a cada hora.

A seguir, na primeira pilha, você observa o arranjo dos quadrados em uma determinada hora. Depois, indo para a direita, os arranjos nas horas seguintes.

Note que o último arranjo da esquerda para a direita, de tamanhos 4, 3, 2 e 1, se seguirmos a regra, torna a virar um arranjo com pilhas de tamanhos 4, 3, 2 e 1. Ou seja, essa forma não muda com o tempo. Vamos chamar esse arranjo “escadinha”, tudo bem? 

E daí é que surge o enigma… Quais são as maneiras de empilhar os dez quadrados tais que, seguindo a regra, após algumas horas chegaremos ao arranjo escadinha?

Acho que uma maneira divertida de encarar esse enigma é escolher um arranjo para começar e modificá-lo sempre seguindo a regra, para ver se você acaba chegando ou não no arranjo escadinha.

Cá entre nós, existem 42 maneiras diferentes para se começar, e tudo bem você não ter tempo ou paciência para explorar todas essas 42 maneiras. Então, aqui vai uma dica: não importa qual dessas dezenas de maneiras você escolha como arranjo inicial para os 10 quadrados, após algumas horas, seguindo a regra, sempre vai aparecer o arranjo escadinha!

E a mesma coisa aconteceria com outros números triangulares. Por exemplo: para 45 quadrados, existem 89.134 (oitenta e nove mil, cento e trinta e quatro) maneiras de empilhá-los.  E não importa qual maneira você escolha, depois de aplicar a regra por algumas horas os quadrados vão ficar assim:

Gráficos Marina Vasconcelos

pedro_roitman
Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília
Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 05.07.2024

COMENTÁRIOS

Envie um comentário

admin

CONTEÚDO RELACIONADO

Quem protege os meros?

Peixes que podem ser maiores do que humanos estão ameaçados de extinção.

Mar, misterioso mar!

Cheio de vida e de surpresas, o oceano mexe com a imaginação da gente.